24. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x²; y = 0; x = 1.

Решение:

Фигура ограничена параболой \( y = x^2 \), осью абсцисс \( y = 0 \) и прямой \( x = 1 \).

Чтобы найти площадь этой фигуры, нужно вычислить определенный интеграл от функции \( y = x^2 \) по интервалу \( x \) от 0 до 1 (так как \( x=1 \) — верхняя граница, а \( y=x^2 \) пересекает \( y=0 \) в точке \( x=0 \)).

Площадь \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{0}^{1} x^2 dx \]

Найдем первообразную для \( x^2 \):

\[ \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \]

Вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \]

Подставим верхний и нижний пределы:

\[ S = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \]

Вычислим:

\[ S = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{1}{3} \).