23. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 4 и 5. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её в отношении 1: 4, считая от вершины.

Обозначим длину первой высоты как h. Она разбивает основание на отрезки 4 и 5. Обозначим вторую высоту как h2, которая делит первую высоту h в отношении 1:4, считая от вершины. Это означает, что h2 пересекает h на отрезке h/5 от вершины, а остаток равен 4h/5. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами: 1) через первую высоту: S = (1/2) * (4+5) * h = (1/2) * 9 * h = 4.5h 2) через вторую высоту: Пусть основание второй высоты будет а. Тогда S=1/2 * a * h2 Применим теорему о высотах в треугольнике. Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные первой высотой и частями основания. Пусть a и b - стороны треугольника, а h - первая высота. Для первой высоты: h^2 = xy, где x и y - части, на которые основание делит высота. h^2=4*5=20. h = sqrt(20) = 2 * sqrt(5). Теперь рассмотрим, что другая высота делит первую в отношении 1:4, то есть на h/5 и 4h/5. Пусть x и y будут отрезками на которые высота делит сторону Соотношение h1 / h2 = sqrt(y/x), где h1=h, h2=4h/5. h1 = h, h2 = h/5 => 1 : (1/5) = 5 -> sqrt(5) (h^2)/(h/5*h/5)=5, sqrt(5) h1 = 4h/5, h2=h/5 h^2 = 20, значит h = 2*sqrt(5). Вторая высота делит h на h/5 и 4h/5, то есть на 2*sqrt(5)/5 и 8*sqrt(5)/5. Рассмотрим треугольник, где h - высота и 4 и 5 отрезки на основании. h^2 = 4*5 = 20 => h = 2*sqrt(5). Пусть h2 - вторая высота. По условию, h2 делит h в отношении 1:4, считая от вершины. Значит, от вершины до точки пересечения высот h/5, а остаток 4h/5. h1 = h= 2*sqrt(5) Высота равна sqrt(20) = 2 * sqrt(5) Ответ: 2*sqrt(5)