25. Из вершины прямого угла С треугольника ABC проведена высота СР. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 36, тангенс угла BAC равен $$\frac{9}{40}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Обозначим радиус вписанной окружности в треугольник BCP как r1 = 36, а радиус вписанной окружности в треугольник ABC как r2. Пусть ∠BAC = α. Тогда tg(α) = 9/40. Треугольники ABC и CBP подобны, так как оба прямоугольные и имеют общий угол B. Соответственно, ∠BAC = ∠BCP. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник вычисляется по формуле r = (a + b - c) / 2, где a и b — катеты, а c — гипотенуза. В треугольнике BCP: r1 = 36. tg(∠B) = 40/9, tg(∠A) = 9/40 Для треугольника ABC: $$\frac{BC}{AC}=tg(A)=9/40$$, то есть AC=40/9*BC Так как треугольники подобны, то отношение радиусов вписанных окружностей равно отношению сходственных сторон. Радиус r1 для треуг. BCP: r1= 36. Треуг ABC имеет радиус r2. Так как углы A и BCP равны, то отношение радиусов r2/r1 = AC/BC. r2/r1 = 40/9. => r2 = 36 * (40/9) = 4 * 40 = 160 Ответ: 160