25. На стороне BC острого треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 54, MD = 36, H — точка пересечения высоты AD с BC. Найдите AH.

Так как \(AD=54\) и \(MD=36\), а точка M лежит на отрезке AD, получаем \(AM=AD-MD=18\).

Полуокружность построена на BC как на диаметре, поэтому \(\angle BMC=90°\). Поскольку M и H лежат на высоте AD, а \(AD\perp BC\), отрезок MH перпендикулярен BC. Следовательно, M — основание перпендикуляра из точки H к гипотенузе BC прямоугольного треугольника BMC.

По теореме о высоте к гипотенузе \(HM^2=BH\cdot HC\). Однако этих данных недостаточно, чтобы определить AH: для вычисления положения H необходимы дополнительные сведения о расположении полуокружности относительно высоты (например, длина BC или положение её концов на прямой BC). Условие не задаёт единственное значение AH.

Ответ: определить AH по приведённым данным нельзя; требуется дополнительное условие, например длина BC.