25. На стороне BC острогоугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 54, MD = 36, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Так как M лежит на высоте AD, получаем \(AM=AD-MD=54-36=18\).

Обозначим \(D=(0,0)\), направим ось y вдоль AD и положим \(A=(0,54)\), \(M=(0,18)\). Поскольку M лежит на полуокружности с диаметром BC, по теореме Фалеса \(\angle BMC=90^\circ\). Отрезок BC перпендикулярен AD, поэтому высота из A перпендикулярна BC и проходит через M. Значит, она совпадает с AD, и точка A принадлежит высотам из A и из B; ортоцентр H лежит на AD.

Однако положение третьей вершины C (а значит, и высоты из C) не задано однозначно. Например, можно менять горизонтальное положение центра окружности и её радиус, сохраняя M на полуокружности и BC перпендикулярным AD; тогда основание высоты из C, а следовательно, ортоцентр H, меняется. Поэтому AH по указанным данным однозначно найти нельзя; требуется дополнительное условие о треугольнике или полуокружности.