25. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 24.

Расположим трапецию в координатной плоскости: \(A=(0,0)\), \(D=(34,0)\), \(B=(u,h)\), \(C=(u+2,h)\). Из \(AB=24\) получаем \(u^2+h^2=576\).

Пусть углы при основании AD равны \(\alpha\) и \(\beta\). Условие \(\alpha+\beta=90^\circ\) даёт \(\tan\alpha\tan\beta=1\). По координатам \(\tan\alpha=h/u\), \(\tan\beta=h/(32-u)\). Поэтому \(h^2=u(32-u)\). Сравнивая с \(u^2+h^2=576\), получаем \(32u=576\), то есть \(u=18\), и \(h^2=252\).

Пусть O — центр искомой окружности. Так как OA=OB, центр лежит на серединном перпендикуляре к AB, поэтому \(O\cdot(B-A)=AB^2/2=288\), или \(18x_O+6\sqrt7y_O=288\). Прямая CD имеет уравнение \(6\sqrt7x+14y-204\sqrt7=0\). Расстояние от O до CD равно

\[\frac{|6\sqrt7x_O+14y_O-204\sqrt7|}{8\sqrt7}=\frac{|3x_O+\sqrt7y_O-102|}{4}=\frac{|48-102|}{4}=13{,}5.\]

Окружность касается прямой CD, значит расстояние от её центра до этой прямой равно радиусу.

Ответ: 13,5.