250. Решить уравнение: 1) $1{,}5^{5x-7}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$; 2) $0{,}75^{2x-3}=\left(1\frac{1}{3}\right)^{5-x}$; 3) $5^{x^2-5x-6}=1$; 4) $\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-2}=\frac{1}{7}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 250. Решить уравнение: 1) $1{,}5^{5x-7}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Поскольку $1{,}5=\frac{3}{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$, получаем $\left(\frac{2}{3}\right)^{-5x+7}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$. Приравниваем показатели: $-5x+7=x+1$, откуда $x=1$.
Запишем основания как степени числа $\frac{4}{3}$: $0{,}75=\frac{3}{4}$, а $1\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$. Тогда $\left(\frac{4}{3}\right)^{-2x+3}=\left(\frac{4}{3}\right)^{5-x}$, поэтому $-2x+3=5-x$ и $x=-2$.
Так как основание $5\ne1$, равенство единице возможно, когда показатель равен нулю: $x^2-5x-6=0$. Разложим: $(x-6)(x+1)=0$. Следовательно, $x=6$ или $x=-1$.
Основания равны: $\frac{1}{7}=\left(\frac{1}{7}\right)^1$. Значит, $x^2-2x-2=1$, то есть $x^2-2x-3=0$. Тогда $(x-3)(x+1)=0$, откуда $x=3$ или $x=-1$.

Ответ: 1) $1$; 2) $-2$; 3) $-1, 6$; 4) $-1, 3$.

250. Решить уравнение: 1) \(1{,}5^{5x-7}=\left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}\); 2) \(0{,}75^{2x-3}=\left(1\frac{1}{3}\right)^{5-x}\); 3) \(5^{x^2-5x-6}=1\); 4) \(\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-2}=\frac{1}{7}\).