Контрольные задания

Вопрос: $Фото задания: Проверь себя! 3. Решить уравнение: 1) \(3^{x+1}=27^{x-1}\); 2) \(0{,}2^{x^2+4x-5}=1\); 3) \(2^{x+3}-2^{x+1}=12\); 4)…$ Фото задания

Проверь себя! 3. Решить уравнение: 1) \(3^{x+1}=27^{x-1}\); 2) \(0{,}2^{x^2+4x-5}=1\); 3) \(2^{x+3}-2^{x+1}=12\); 4) \(4\cdot2^{2x}-5\cdot2^x+1=0\).

Запишем \(27=3^3\): \(3^{x+1}=3^{3x-3}\). Приравниваем показатели: \(x+1=3x-3\), откуда \(x=2\).
Так как основание \(0{,}2\) положительно и не равно 1, степень равна 1 только при нулевом показателе: \(x^2+4x-5=0\). Разложение \((x+5)(x-1)=0\) даёт \(x=-5\) или \(x=1\).
Вынесем \(2^{x+1}\): \(2^{x+1}(4-1)=12\). Значит, \(2^{x+1}=4=2^2\), поэтому \(x=1\).
Пусть \(t=2^x>0\). Тогда \(4t^2-5t+1=0\), или \((4t-1)(t-1)=0\). Получаем \(t=\frac14\) или \(t=1\), откуда \(x=-2\) или \(x=0\).

Ответ: 1) \(2\); 2) \(-5, 1\); 3) \(1\); 4) \(-2, 0\).