27. DABC — правильный тетраэдр, AB = 8. Найдите Pₘₙₖ тетраэдра пл. MNK.

По отметкам на рисунке M, N и K — середины рёбер AD, DC и BC соответственно. Все рёбра правильного тетраэдра равны 8.

1. В треугольнике ADC отрезок MN соединяет середины двух сторон, поэтому MN = AC/2 = 4.
2. В треугольнике DBC отрезок NK — средняя линия, поэтому NK = DB/2 = 4.
3. Отрезок MK соединяет середины противоположных рёбер AD и BC. В правильном тетраэдре его длина равна стороне, делённой на √2: MK = 8/√2 = 4√2.
4. Складываем стороны треугольника: Pₘₙₖ = 4 + 4 + 4√2.

Ответ: 8 + 4√2.