31. SABCD — правильная пирамида, KC = 5, KS = 3, AD = 8. Найдите P₍пер₎ пирамиды пл. ADK.

По рисунку K лежит на SC, и SK = 3, KC = 5, значит SC = 8. У правильной пирамиды все боковые рёбра равны, поэтому SA = SD = SC = 8. Основание — квадрат со стороной AD = 8.

Диагональ AC квадрата равна 8√2. В треугольнике SAC высота из S к AC делит AC пополам; её длина равна √(8² − (4√2)²) = 4√2. Точка K находится на 3/8 пути от S к C. Из координатного вычисления для треугольников ACK и DCK получаем AK = DK = √73.

Следовательно, P₍пер₎ = AD + AK + DK = 8 + 2√73.

Ответ: 8 + 2√73.