30. Дано: A…A₁ — прямая призма, AB = BC = 10, A₁K = KB, AC = 16, BB₁ = 12. Найти: P₍пер₎ пл. AKC.

K — середина A₁B₁, так как A₁K = KB. В боковой грани ABB₁A₁ отрезок AK имеет горизонтальную составляющую AB/2 = 5 и вертикальную BB₁ = 12, поэтому AK = √(5² + 12²) = 13.

В основании ABC медиана из C к AB делит AB пополам. Её длина равна √(AC² − (AB/2)²) = √(16² − 5²) = √231. Отрезок KC также имеет вертикальную составляющую 12, следовательно, KC = √(231 + 12²) = √375 = 5√15.

Периметр: P₍пер₎ = AK + KC + AC = 13 + 5√15 + 16.

Ответ: 29 + 5√15.