27. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. В каком отношении делит его сторону точка касания вписанной в него окружности?

Пусть сторона ромба равна a, а его острый угол равен α. Диагональ, являющаяся стороной равностороннего треугольника, имеет длину \(2a\cos(α/2)\). По условию она равна a, поэтому \(2\cos(α/2)=1\), откуда α = 120° для тупого угла, а острый угол ромба равен 60°.

Вписанная окружность касается каждой стороны. Если окружность касается стороны AB, то отрезок от острой вершины до точки касания равен \(r\cot 30°\), а от тупой — \(r\cot 60°\). Их отношение равно \(\sqrt3:1\).

Ответ: точка касания делит сторону в отношении √3:1, считая от острой вершины ромба.