2785. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 45°, АС = 2√2. Найдите АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \angle C = 90^{\circ} \)

\( \angle A = 45^{\circ} \)

\( AC = 2\sqrt{2} \)

Так как \( \angle A = 45^{\circ} \), то \( \angle B = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Треугольник равнобедренный, следовательно \( AC = BC = 2\sqrt{2} \).

Используем косинус угла A:

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

\[ \cos 45^{\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{AB} \]

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{AB} \]

Отсюда:

\[ AB = \frac{2\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 4 \]

Ответ: АВ = 4.