2788. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, угол А равен 30°, АВ = 4. Найдите ВН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \angle C = 90^{\circ} \)

\( \angle A = 30^{\circ} \)

\( AB = 4 \)

\( CH \) — высота.

Сначала найдём \( AC \) в \( \triangle ABC \):

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

\[ \cos 30^{\circ} = \frac{AC}{4} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{4} \]

\[ AC = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BCH \). Угол \( \angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \). Угол \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В \( \triangle BCH \) угол \( \angle CHB = 90^{\circ} \).

Найдём \( BH \) как катет, прилежащий к углу \( \angle B \) в \( \triangle BCH \):

\[ \cos B = \frac{BH}{BC} \]

Нам нужно найти \( BC \) в \( \triangle ABC \):

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

\[ \sin 30^{\circ} = \frac{BC}{4} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{BC}{4} \]

\[ BC = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \]

Теперь вернёмся к \( \triangle BCH \):

\[ \cos 60^{\circ} = \frac{BH}{2} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{BH}{2} \]

\[ BH = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]

Ответ: ВН = 1.