2793. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 30, cos A = 0,6. Найдите высоту АН.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) высота АН, опущенная на основание AB, является медианой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Угол A нам известен через косинус: \( \text{cos } A = 0,6 = \frac{3}{5} \).

В прямоугольном треугольнике AHC:

\( \text{cos } A = \frac{AH}{AC} \)

Так как AB = 30, то AH = HB = \( \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).

Теперь подставим известные значения:

\( \frac{3}{5} = \frac{15}{AC} \)

Отсюда найдём AC:

\( AC = \frac{15 \cdot 5}{3} = 5 \cdot 5 = 25 \).

Теперь найдём высоту CH, используя теорему Пифагора в треугольнике AHC:

\( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)

\( 25^2 = 15^2 + CH^2 \)

\( 625 = 225 + CH^2 \)

\( CH^2 = 625 - 225 = 400 \)

\( CH = \sqrt{400} = 20 \).

Ответ: CH = 20.