2799. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1 : 2, меньшая его сторона равна 6. Найдите диагональ данного прямоугольника.

Решение:

В прямоугольнике все углы прямые, то есть по 90°.

Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 1 : 2. Обозначим части как \( k \) и \( 2k \). Их сумма равна 90°:

\( k + 2k = 90° \)

\( 3k = 90° \)

\( k = \frac{90°}{3} = 30° \).

Значит, диагональ делит угол на 30° и 60°.

Меньшая сторона прямоугольника лежит напротив меньшего угла (30°).

Пусть меньшая сторона равна \( a = 6 \).

В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и диагональю, меньшая сторона (катет) равна половине диагонали, если она лежит напротив угла в 30°.

Пусть диагональ равна \( d \).

\( a = \frac{d}{2} \)

\( 6 = \frac{d}{2} \)

\( d = 6 \times 2 = 12 \).

Ответ: Диагональ равна 12.