2795. В треугольнике АВС AC = BC, угол С равен 120°, АВ = 2√3. Найдите АС.

Решение:

Так как AC = BC, треугольник ABC — равнобедренный. Углы при основании равны:

\( \angle A = \angle B = \frac{180° - \angle C}{2} = \frac{180° - 120°}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \).

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

\( \frac{AB}{\text{sin } C} = \frac{AC}{\text{sin } B} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{2\sqrt{3}}{\text{sin } 120°} = \frac{AC}{\text{sin } 30°} \)

Знаем, что \( \text{sin } 120° = \text{sin } (180° - 60°) = \text{sin } 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \), а \( \text{sin } 30° = \frac{1}{2} \).

\( \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}} \)

\( \frac{2\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = AC \cdot 2 \)

\( 4 = 2 \cdot AC \)

\( AC = \frac{4}{2} = 2 \).

Ответ: AC = 2.