2794. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 10, cos C = 0,8, CH — высота. Найдите АН.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) высота CH, опущенная на основание AB, является медианой. То есть, H — середина AB.

Нам нужно найти AH. Для этого сначала найдём AC.

В прямоугольном треугольнике CHB:

\( \text{cos } C = \frac{CH}{BC} \)

\( \text{cos } C = \frac{BC}{AC} \) (это неверно, так как C - угол при основании, а не прямой)

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. По теореме Пифагора:

\( BC^2 = CH^2 + HB^2 \)

Рассмотрим треугольник ABC. Угол C = 0,8. Это косинус угла C, а не сам угол.

По теореме косинусов для треугольника ABC:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \text{cos } C \)

Так как AB = BC, обозначим их за \( x \).

\( x^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot 0,8 \)

\( x^2 = 100 + x^2 - 16x \)

\( 0 = 100 - 16x \)

\( 16x = 100 \)

\( x = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6,25 \).

Значит, AB = BC = 6,25.

Поскольку CH — высота и медиана, H — середина AB. Следовательно, AH = HB = \( \frac{AB}{2} \).

\( AH = \frac{6,25}{2} = 3,125 \).

Ответ: AH = 3,125.