28) Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет 2 раза.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. У нас есть \( n=5 \) независимых испытаний (подбрасываний монеты).

Вероятность выпадения орла в одном испытании: \( p = 0.5 \).

Вероятность выпадения решки в одном испытании: \( q = 1 - p = 0.5 \).

Нам нужно найти вероятность того, что орел выпадет ровно \( k=2 \) раза.

Формула биномиальной вероятности: \( P(X=k) = C_n^k p^k q^{n-k} \), где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

1. Найдем число сочетаний \( C_5^2 \):

\( C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \).

2. Подставим значения в формулу биномиальной вероятности:

\( P(X=2) = C_5^2 p^2 q^{5-2} = 10 \times (0.5)^2 \times (0.5)^3 \)

\( P(X=2) = 10 \times 0.25 \times 0.125 = 10 \times 0.03125 = 0.3125 \).

\( 0.3125 = \frac{5}{16} \).

Ответ: 0.3125 (или 5/16)