28. На сторонах BC и AD параллелограмма ABCD построили равносторонние треугольники BCK и AED так, как показано на рисунке. Докажите, что отрезок EK делит диагональ AC пополам.

Пусть O — середина диагонали AC. Обозначим через N одинаковый вектор, направленный перпендикулярно сторонам AD и BC наружу от параллелограмма. Его длина равна высоте построенных равносторонних треугольников.

Так как AD и BC равны и параллельны, а треугольники построены по разные стороны от параллелограмма, вершины E и K можно выразить через середины оснований:

E = (A + D)/2 + N,   K = (B + C)/2 − N.

Складывая равенства, получаем E + K = (A + B + C + D)/2. В параллелограмме A + C = B + D, поэтому (E + K)/2 = (A + C)/2 = O.

Значит, O — середина EK. Точка O одновременно лежит на диагонали AC и на отрезке EK, следовательно, EK проходит через середину AC.

Что и требовалось доказать.