30. Биссектрисы двух углов при одной стороне параллелограмма делят другую его сторону на три равные части. Найдите отношение сторон параллелограмма.

Пусть длина стороны, на которой лежат вершины рассматриваемых углов, равна a, а длина соседней стороны — b. Выберем координаты A = (0, 0), B = (a, 0), D = (p, q), C = (a + p, q). Тогда AD = b.

Биссектриса угла A имеет направление, равное сумме единичных направлений AB и AD. При переходе от A к противоположной стороне CD она достигает этой стороны в точке, отстоящей от D на b: это следует из того, что вертикальная составляющая направления биссектрисы равна q/b.

Аналогично биссектриса угла B пересекает CD в точке, отстоящей от C на b. Поэтому точки делят CD на отрезки длиной b, a − 2b и b. Если все три отрезка равны, то b = a/3. Но возможен и обратный порядок точек биссектрис: тогда расстояние между ними равно 2b − a, и равенство частей даёт b = 2a/3.

Следовательно, отношение большей стороны к меньшей может быть как 3:1, так и 3:2.

Ответ: 3:1 или 3:2.