32. Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD. На отрезок BE опустили перпендикуляр CH. Докажите, что отрезок DH равен одной из сторон параллелограмма.

Выберем координаты так, чтобы E = (0, 0), A = (−a, 0), D = (a, 0). Так как E — середина AD, а ABCD — параллелограмм, можно записать B = (x, y), C = (x + 2a, y).

Точка H лежит на BE, поэтому H = t(x, y) для некоторого числа t. Условие CH ⟂ BE означает, что векторы CH и BE перпендикулярны:

(C − H) · (x, y) = 0.

Отсюда t = 1 + 2ax/(x² + y²). Теперь вычислим квадрат длины DH:

DH² = (tx − a)² + (ty)² = t²(x² + y²) − 2atx + a² = x² + 2ax + a² + y².

Но AB² = (x + a)² + y² = x² + 2ax + a² + y². Следовательно, DH² = AB², а значит, DH = AB. Стороны AB и CD равны, поэтому DH равен одной из сторон параллелограмма.

Что и требовалось доказать.