28. Найдите первообразную, график которой проходит через точку A: f(x) = sin2x;

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = \sin(2x) \), проинтегрируем \( f(x) \):

\( F(x) = \int \sin(2x) dx \)

Используем замену \( u = 2x \), тогда \( du = 2 dx \), или \( dx = \frac{1}{2} du \).

\( F(x) = \int \sin(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin(u) du = \frac{1}{2} (-\cos(u)) + C \)

Подставим обратно \( u = 2x \):

\( F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \)

Теперь воспользуемся условием, что график первообразной проходит через точку \( A(-1; 4) \). Это означает, что \( F(-1) = 4 \).

\( 4 = -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot (-1)) + C \)

\( 4 = -\frac{1}{2} \cos(-2) + C \)

Так как \( \cos(-x) = \cos(x) \), то \( \cos(-2) = \cos(2) \).

\( 4 = -\frac{1}{2} \cos(2) + C \)

Выразим \( C \):

\( C = 4 + \frac{1}{2} \cos(2) \)

Подставим значение \( C \) в выражение для \( F(x) \):

\( F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x) + 4 + \frac{1}{2} \cos(2) \)

Ответ: \( F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x) + 4 + \frac{1}{2} \cos(2) \).