33. Вычислите интеграл: \(\int_{1}^{4} (4x^3 - 3\sqrt{x}) dx\)

Решение:

Вычислим определённый интеграл:

\( \int_{1}^{4} (4x^3 - 3x^{1/2}) dx \)

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

\( \int (4x^3 - 3x^{1/2}) dx = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^{3/2}}{3/2} + C = x^4 - 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C = x^4 - 2x^{3/2} + C \)

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( [x^4 - 2x^{3/2}]_{1}^{4} = (4^4 - 2(4)^{3/2}) - (1^4 - 2(1)^{3/2}) \)

\( = (256 - 2 \cdot 8) - (1 - 2) \)

\( = (256 - 16) - (-1) \)

\( = 240 + 1 \)

\( = 241 \)

Ответ: 241.