31. Вычислите интеграл: \(\int_{1}^{4} (4\sqrt{x} - 3x^2) dx\)

Решение:

Вычислим определённый интеграл:

\( \int_{1}^{4} (4x^{1/2} - 3x^2) dx \)

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

\( \int (4x^{1/2} - 3x^2) dx = 4\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 3\frac{x^3}{3} + C = 4\frac{x^{3/2}}{3/2} - x^3 + C = 4 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - x^3 + C = \frac{8}{3} x^{3/2} - x^3 + C \)

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( [\frac{8}{3} x^{3/2} - x^3]_{1}^{4} = (\frac{8}{3} (4)^{3/2} - 4^3) - (\frac{8}{3} (1)^{3/2} - 1^3) \)

\( = (\frac{8}{3} \cdot 8 - 64) - (\frac{8}{3} - 1) \)

\( = (\frac{64}{3} - 64) - (\frac{8}{3} - 1) \)

\( = \frac{64}{3} - \frac{192}{3} - \frac{8}{3} + \frac{3}{3} \)

\( = \frac{64 - 192 - 8 + 3}{3} = \frac{-133}{3} \)

Ответ: -\(\frac{133}{3}\).