38. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функции: y = -x² - 4x, y = 4 + x

Решение:

1. Найдем точки пересечения графиков функций \( y = -x^2 - 4x \) и \( y = 4 + x \):
   \( -x^2 - 4x = 4 + x \)
   \( 0 = x^2 + 5x + 4 \)
   Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2} \).
   \( x_1 = \frac{-5 - 3}{2} = -4 \)
   \( x_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1 \>
2. Определим, какая функция находится выше на интервале \( [-4, -1] \).
   Возьмем тестовую точку, например \( x = -2 \):
   \( y_1 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4 \)
   \( y_2 = 4 + (-2) = 2 \)
   Значит, \( y = -x^2 - 4x \) находится выше.
3. Вычислим площадь фигуры как интеграл разности функций:

\( S = \int_{-4}^{-1} ((-x^2 - 4x) - (4 + x)) dx = \int_{-4}^{-1} (-x^2 - 5x - 4) dx \)

Найдем первообразную:

\( \int (-x^2 - 5x - 4) dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 4x + C \)

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( [-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 4x]_{-4}^{-1} = (-\frac{(-1)^3}{3} - \frac{5(-1)^2}{2} - 4(-1)) - (-\frac{(-4)^3}{3} - \frac{5(-4)^2}{2} - 4(-4)) \)

\( = (-\frac{-1}{3} - \frac{5 \cdot 1}{2} + 4) - (-\frac{-64}{3} - \frac{5 \cdot 16}{2} + 16) \)

\( = (\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4) - (\frac{64}{3} - 40 + 16) \)

\( = (\frac{2 - 15 + 24}{6}) - (\frac{64}{3} - 24) \)

\( = \frac{11}{6} - (\frac{64 - 72}{3}) \)

\( = \frac{11}{6} - \frac{-8}{3} \)

\( = \frac{11}{6} + \frac{16}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \)

Ответ: \(\frac{9}{2}\).