36. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -x² + x, y = 0

Решение:

1. Найдем точки пересечения графика функции \( y = -x^2 + x \) с осью \( Ox \) (где \( y = 0 \)):
   \( -x^2 + x = 0 \)
   \( x(-x + 1) = 0 \)
   \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 1 \>
2. Поскольку парабола \( y = -x^2 + x \) имеет ветви, направленные вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), и точки пересечения \( x=0 \) и \( x=1 \), то на интервале \( [0, 1] \) функция \( y = -x^2 + x \) будет положительной.
3. Вычислим площадь фигуры как интеграл функции от \( x_1 \) до \( x_2 \):

\( S = \int_{0}^{1} (-x^2 + x) dx \)

Найдем первообразную:

\( \int (-x^2 + x) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C \)

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( [-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = (-\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2}) - (-\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2}) \)

\( = (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) - (0) \)

\( = \frac{-2 + 3}{6} = \frac{1}{6} \)

Ответ: \(\frac{1}{6}\).