34. Вычислите интеграл: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2dx}{\sin^2(2x+\frac{\pi}{4})}\)

Решение:

Вычислим определённый интеграл:

\( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{\sin^2(2x + \frac{\pi}{4})} dx \)

Сделаем замену переменной: \( u = 2x + \frac{\pi}{4} \). Тогда \( du = 2 dx \).

Изменим пределы интегрирования:

При \( x = 0 \): \( u = 2(0) + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \).

При \( x = \frac{\pi}{4} \): \( u = 2(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).

Теперь интеграл имеет вид:

\( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\sin^2(u)} du = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \csc^2(u) du \)

Найдем первообразную:

\( [-\cot(u)]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \)

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( = -\cot(\frac{3\pi}{4}) - (-\cot(\frac{\pi}{4})) \)

\( = -(-1) + 1 \)

\( = 1 + 1 \)

\( = 2 \)

Ответ: 2.