40. Найдите первообразную, график которой проходит через точку А: f(x) = 3x² - 2x + 4; A(-1;1)

Решение:

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 3x^2 - 2x + 4 \), проинтегрируем \( f(x) \):

\( F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx \)

\( F(x) = 3 \int x^2 dx - 2 \int x dx + 4 \int 1 dx \)

\( F(x) = 3 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + 4x + C \)

\( F(x) = x^3 - x^2 + 4x + C \)

Теперь воспользуемся условием, что график первообразной проходит через точку \( A(-1; 1) \). Это означает, что \( F(-1) = 1 \).

\( 1 = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C \)

\( 1 = -1 - 1 - 4 + C \)

\( 1 = -6 + C \)

\( C = 1 + 6 \)

\( C = 7 \)

Подставим значение \( C \) в выражение для \( F(x) \):

\( F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7 \)

Ответ: \( F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7 \).