32. Вычислите интеграл: \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) dx\)

Решение:

Вычислим определённый интеграл:

\( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x - \frac{\pi}{4}) dx \)

Сделаем замену переменной: \( u = 2x - \frac{\pi}{4} \). Тогда \( du = 2 dx \), или \( dx = \frac{1}{2} du \).

Изменим пределы интегрирования:

При \( x = \frac{\pi}{4} \): \( u = 2(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \).

При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( u = 2(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \).

Теперь интеграл имеет вид:

\( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \sin(u) du \)

Найдем первообразную:

\( \frac{1}{2} [-\cos(u)]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \)

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\( = \frac{1}{2} \left( -\cos(\frac{3\pi}{4}) - (-\cos(\frac{\pi}{4})) \right) \)

\( = \frac{1}{2} \left( -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)

\( = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)

\( = \frac{1}{2} \left( \sqrt{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).