290. Докажите, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции возведения в степень с натуральным показателем.

Пусть \(a\) — натуральное число, а \(n\) — натуральный показатель. Возведение в степень означает умножение числа на себя n раз:

\(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ множителей}}\).

Произведение натуральных чисел является натуральным числом. Поэтому и \(a^n\) — натуральное число. Значит, возведение натурального числа в натуральную степень не выводит результат за пределы множества натуральных чисел; множество замкнуто относительно этой операции.