299. а) В треугольнике ABC угол В - прямой. Найдите АС, если cos A = 5/13, BC=24. б) В треугольнике АВС угол В - прямой. Найдите АС, если sin C = 5/11, BC=5.

Решение:

а)

1. По определению косинуса: \( \cos A = \frac{AB}{AC} \).
2. По определению тангенса: \( \tan A = \frac{BC}{AB} \).
3. Выразим \( AB \) из второго равенства: \( AB = \frac{BC}{\tan A} \).
4. Выразим \( \tan A \) через \( \cos A \): \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \). \( \sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (5/13)^2} = \sqrt{1 - 25/169} = \sqrt{144/169} = 12/13 \).
5. \( \tan A = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5} \).
6. \( AB = \frac{24}{12/5} = 24 \cdot \frac{5}{12} = 10 \).
7. \( AC = \frac{AB}{\cos A} = \frac{10}{5/13} = 10 \cdot \frac{13}{5} = 26 \).

б)

1. По определению синуса: \( \sin C = \frac{AB}{AC} \).
2. По определению косинуса: \( \cos C = \frac{BC}{AC} \).
3. По определению тангенса: \( \tan C = \frac{AB}{BC} \).
4. Выразим \( AB \) из тангенса: \( AB = BC \cdot \tan C \).
5. Выразим \( \tan C \) через \( \sin C \): \( \tan C = \frac{\sin C}{\cos C} \). \( \cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \sqrt{1 - (5/11)^2} = \sqrt{1 - 25/121} = \sqrt{96/121} = \frac{\sqrt{96}}{11} = \frac{4\sqrt{6}}{11} \).
6. \( \tan C = \frac{5/11}{4\sqrt{6}/11} = \frac{5}{4\sqrt{6}} \).
7. \( AB = 5 \cdot \frac{5}{4\sqrt{6}} = \frac{25}{4\sqrt{6}} \).
8. \( AC = \frac{AB}{\sin C} = \frac{25/(4\sqrt{6})}{5/11} = \frac{25}{4\sqrt{6}} \cdot \frac{11}{5} = \frac{5 \cdot 11}{4\sqrt{6}} = \frac{55}{4\sqrt{6}} = \frac{55\sqrt{6}}{24} \).

Ответ: а) 26; б) \( \frac{55\sqrt{6}}{24} \).