300. а) В треугольнике ABC угол В - прямой. Найдите АС, если tg A = \(\sqrt{19}/9\), AC = 10. б) В треугольнике ABC угол В - прямой. Найдите АС, если tg C = \(\sqrt{7}/3\), BC = 6.

Решение:

а)

1. По определению тангенса: \( \tan A = \frac{BC}{AB} \).
2. По определению синуса: \( \sin A = \frac{BC}{AC} \).
3. Выразим \( BC \) из \( \tan A \): \( BC = AB \cdot \tan A \).
4. Выразим \( \tan A \) через \( \sin A \) и \( \cos A \). \( \sin A = \frac{BC}{AC} \). \( \cos A = \frac{AB}{AC} \). \( \tan A = \frac{BC}{AB} \).
5. Из \( \tan A = \frac{\sqrt{19}}{9} \) имеем \( \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{19}}{9} \).
6. Из \( AC = 10 \) и \( \sin A = \frac{BC}{10} \) и \( \cos A = \frac{AB}{10} \). \( \tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sin A}{\cos A} \).
7. \( \tan A = \frac{\sqrt{19}}{9} \). \( AB \cdot \frac{\sqrt{19}}{9} = BC \). \( AB = \frac{9 BC}{\sqrt{19}} \).
8. \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \). \( 100 = \frac{81 BC^2}{19} + BC^2 = BC^2 \left( \frac{81}{19} + 1 \right) = BC^2 \left( \frac{100}{19} \right) \).
9. \( BC^2 = 100 \cdot \frac{19}{100} = 19 \). \( BC = \sqrt{19} \).
10. \( AB = \frac{9 \sqrt{19}}{\sqrt{19}} = 9 \).
11. AC=10, AB=9, BC=\(\sqrt{19}\).

б)

1. По определению тангенса: \( \tan C = \frac{AB}{BC} \).
2. Выразим \( AB \): \( AB = BC \cdot \tan C \).
3. Подставим известные значения: \( AB = 6 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = 2\sqrt{7} \).
4. По теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
5. \( AC^2 = (2\sqrt{7})^2 + 6^2 = 4 \cdot 7 + 36 = 28 + 36 = 64 \).
6. \( AC = \sqrt{64} = 8 \).

Ответ: а) AC = 10 (данный в условии); б) AC = 8.