301. а) В треугольнике АВС угол В - прямой. Найдите АВ, если tg A = \(\sqrt{19}/9\), AC=10. б) В треугольнике АВС угол В - прямой. Найдите ВС, если tg C = \(\sqrt{7}/3\), AC=12.

Решение:

а)

1. По определению тангенса: \( \tan A = \frac{BC}{AB} \).
2. Из \( \tan A = \frac{\sqrt{19}}{9} \) следует \( BC = AB \cdot \frac{\sqrt{19}}{9} \).
3. По теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
4. \( 10^2 = AB^2 + \left( AB \cdot \frac{\sqrt{19}}{9} \right)^2 \).
5. \( 100 = AB^2 + AB^2 \cdot \frac{19}{81} = AB^2 \left( 1 + \frac{19}{81} \right) = AB^2 \left( \frac{100}{81} \right) \).
6. \( AB^2 = 100 \cdot \frac{81}{100} = 81 \).
7. \( AB = \sqrt{81} = 9 \).

б)

1. По определению тангенса: \( \tan C = \frac{AB}{BC} \).
2. Из \( \tan C = \frac{\sqrt{7}}{3} \) следует \( AB = BC \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} \).
3. По теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
4. \( 12^2 = \left( BC \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} \right)^2 + BC^2 \).
5. \( 144 = BC^2 \cdot \frac{7}{9} + BC^2 = BC^2 \left( \frac{7}{9} + 1 \right) = BC^2 \left( \frac{16}{9} \right) \).
6. \( BC^2 = 144 \cdot \frac{9}{16} = 9 \cdot 9 = 81 \).
7. \( BC = \sqrt{81} = 9 \).

Ответ: а) AB = 9; б) BC = 9.