308. а) В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и С равны 150°, АВ = 30, найдите высоту ВК. б) В треугольнике АВС внешние углы при вершинах А и с равны 150°, биссектриса ВК = 5, АС = 2√75. Найдите ВС.

Решение:

а)

1. Внутренние углы при вершинах А и С равны \( 180° - 150° = 30° \).
2. Так как \( \angle A = \angle C = 30° \), треугольник ABC равнобедренный с \( AB = BC = 30 \).
3. Высота ВК, проведённая к основанию АС в равнобедренном треугольнике, является также медианой. \( AK = KC = AC/2 \).
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. \( \sin A = \frac{BK}{AB} \).
5. \( \sin 30° = \frac{BK}{30} \).
6. \( \frac{1}{2} = \frac{BK}{30} \) => \( BK = 15 \).

б)

1. Внутренние углы при вершинах А и С равны \( 180° - 150° = 30° \).
2. Так как \( \angle A = \angle C = 30° \), треугольник ABC равнобедренный.
3. \( AC = 2\sqrt{75} = 2\sqrt{25 \cdot 3} = 2 \cdot 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \).
4. В равнобедренном треугольнике высота ВК, проведённая к основанию АС, является также медианой. \( AK = KC = AC/2 = 10\sqrt{3} / 2 = 5\sqrt{3} \).
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. \( \tan A = \frac{BK}{AK} \).
6. \( \tan 30° = \frac{5}{5\sqrt{3}} \). (Это неверно, так как \( \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} \)).
7. Проверим условие: \( BK = 5 \) и \( AK = 5\sqrt{3} \). \( \tan 30° = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Это верно.
8. Теперь найдём \( AB \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = AK^2 + BK^2 = (5\sqrt{3})^2 + 5^2 = 75 + 25 = 100 \).
9. \( AB = \sqrt{100} = 10 \).
10. Так как треугольник равнобедренный, \( BC = AB = 10 \).

Ответ: а) BK = 15; б) BC = 10.