305. а) В прямоугольном треугольнике АВС, угол С - прямой, СН - высота, AC = 4, cos A = 0,8. Найдите длину отрезка АН. б) В прямоугольном треугольнике АВС, угол С - прямой, СН высота, AC = 12, sin A = 0,3. Найдите высоты СН.

Решение:

а)

1. В прямоугольном треугольнике ABC: \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).
2. \( 0,8 = \frac{4}{AB} \) => \( AB = \frac{4}{0,8} = 5 \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. \( \cos A = \frac{AH}{AC} \).
4. \( 0,8 = \frac{AH}{4} \) => \( AH = 4 \cdot 0,8 = 3,2 \).

б)

1. В прямоугольном треугольнике ABC: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \). \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).
2. \( \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (0,3)^2} = \sqrt{1 - 0,09} = \sqrt{0,91} \).
3. \( AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{12}{\sqrt{0,91}} \).
4. В прямоугольном треугольнике ACH: \( \sin A = \frac{CH}{AC} \).
5. \( CH = AC \cdot \sin A = 12 \cdot 0,3 = 3,6 \).

Ответ: а) AH = 3,2; б) CH = 3,6.