3.6.7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 40, tg A = 55/(3√55). Найдите AC.

Сначала упростим тангенс:

\(\operatorname{tg} A=\frac{55}{3\sqrt{55}}=\frac{\sqrt{55}}{3}.\)

Пусть \(BC=x\). Тогда \(\operatorname{tg} A=\frac{BC}{AC}\), откуда \(AC=\frac{3x}{\sqrt{55}}\). По теореме Пифагора:

\(x^2+\left(\frac{3x}{\sqrt{55}}\right)^2=40^2\), значит \(x^2\cdot\frac{64}{55}=1600\), поэтому \(x^2=\frac{1375}{4}\).

Следовательно, \(AC^2=1600-\frac{1375}{4}=\frac{5025}{4}\), и \(AC=\frac{5\sqrt{201}}{2}\).

Ответ: \(\frac{5\sqrt{201}}{2}\).