3.6.8. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 18, sin A = 2/3. Найдите CH.

Найдём катеты через гипотенузу AB:

\(BC=AB\cdot\sin A=18\cdot\frac{2}{3}=12.\)

По теореме Пифагора \(AC=\sqrt{18^2-12^2}=6\sqrt{5}\). Площадь можно выразить двумя способами: \(\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot CH}{2}\). Поэтому

\(CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{6\sqrt{5}\cdot12}{18}=4\sqrt{5}.\)

Ответ: \(4\sqrt{5}\).