3. ABCD — трапеция, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Дано: AO = OD. Доказать: AB = CD.

В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны, поэтому треугольники AOB и COD подобны: ∠AOB = ∠COD (вертикальные), ∠ABO = ∠CDO (накрест лежащие).

Из подобия следует AO/OD = BO/OC. Так как AO = OD, получаем BO = OC.

Треугольники AOB и DOC равны по двум сторонам и углу между ними: AO = OD, BO = OC, ∠AOB = ∠DOC. Поэтому AB = CD.

Ответ: AB = CD.