8. ABCD — прямоугольная трапеция, ∠C = 90°, ∠ABC = 135°. Диагональ BD образует с CD угол 45°. Дано: AD = 30. Найти BC.

Треугольник BCD прямоугольный при C; угол между BD и CD равен 45°. Значит, треугольник BCD равнобедренный прямоугольный, поэтому BC = CD.

Углы A и B при боковой стороне AB supplementary, поэтому ∠A = 180° − 135° = 45°. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой AB это означает, что горизонтальная разность оснований AD − BC равна высоте CD. Поскольку CD = BC, получаем 30 − BC = BC.

Отсюда BC = 15.

Ответ: BC = 15.