3. Докажите тождество: \(\left(\dfrac{b^3}{b^2-8b+16}-\dfrac{b^2}{b-4}\right):\left(\dfrac{b^2}{b^2-16}-\dfrac{b}{b-4}\right)=\dfrac{b^2+4b}{4-b}\).

Область допустимых значений исходного выражения: \(b\ne-4,0,4\). Значение \(b=0\) исключается, поскольку на выражение во второй скобке делить нельзя.

Упростим первую скобку, используя \(b^2-8b+16=(b-4)^2\):

\(\dfrac{b^3}{(b-4)^2}-\dfrac{b^2}{b-4}=\dfrac{b^3-b^2(b-4)}{(b-4)^2}=\dfrac{4b^2}{(b-4)^2}\).

Упростим вторую скобку, учитывая \(b^2-16=(b-4)(b+4)\):

\(\dfrac{b^2}{(b-4)(b+4)}-\dfrac{b(b+4)}{(b-4)(b+4)}=\dfrac{-4b}{(b-4)(b+4)}\).

Разделим полученные выражения:

\(\dfrac{4b^2}{(b-4)^2}:\dfrac{-4b}{(b-4)(b+4)}=-\dfrac{b(b+4)}{b-4}=\dfrac{b^2+4b}{4-b}\).

Получено выражение, стоящее в правой части. Тождество доказано при всех допустимых значениях \(b\).