3. Докажите тождество: sin α/(1 + cos α) + (1 + cos α)/sin α = 2/sin α.

Область допустимых значений: \(\sin\alpha\ne 0\); тогда также \(1+\cos\alpha\ne0\).

Приведём левую часть к общему знаменателю:

\[\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}+\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+(1+\cos\alpha)^2}{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}.\]

Раскроем скобки и используем \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\): числитель равен \(1+2\cos\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=2(1+\cos\alpha)\).

Сокращаем дробь на \(1+\cos\alpha\) и получаем \(\frac{2}{\sin\alpha}\), то есть правую часть. Тождество доказано.