3) \(\frac{2x^2+6}{x+8} = \frac{13x}{x+8};\)

Задание 3

Решаем уравнение \(\frac{2x^2+6}{x+8} = \frac{13x}{x+8}\).

Шаг 1: Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение вида \( f(x) = 0 \).

\[ \frac{2x^2+6}{x+8} - \frac{13x}{x+8} = 0 \]

Шаг 2: Так как знаменатели одинаковые, вычитаем числители:

\[ \frac{2x^2 + 6 - 13x}{x+8} = 0 \]

Шаг 3: Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен равняться нулю, а знаменатель — не равняться нулю.

Приравниваем числитель к нулю:

\[ 2x^2 - 13x + 6 = 0 \]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).

Здесь \( a = 2 \), \( b = -13 \), \( c = 6 \).

\[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121 \]

Шаг 5: Находим корни квадратного уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

\[ x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6 \]\[ x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Шаг 6: Проверяем условие, что знаменатель \(x+8 \neq 0\).

Для \( x_1 = 6 \): \( 6 + 8 = 14 \neq 0 \). Это значение подходит.

Для \( x_2 = \frac{1}{2} \): \( \frac{1}{2} + 8 = \frac{1}{2} + \frac{16}{2} = \frac{17}{2} \neq 0 \). Это значение подходит.

Ответ: x = 6, x = 1/2.