8) \(y - \frac{39}{y} = 10.\)

Задание 8

Решаем уравнение \(y - \frac{39}{y} = 10.\)

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на \(y\), наложив ограничение \( y \neq 0 \).

\[ y \cdot y - \frac{39}{y} \cdot y = 10 \cdot y \]\[ y^2 - 39 = 10y \]

Шаг 2: Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ y^2 - 10y - 39 = 0 \]

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).

Здесь \( a = 1 \), \( b = -10 \), \( c = -39 \).

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 100 + 156 = 256 \]

Шаг 4: Находим корни квадратного уравнения по формуле \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

\[ y_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 16}{2} = \frac{26}{2} = 13 \]\[ y_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 16}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Шаг 5: Проверяем, удовлетворяют ли найденные корни ограничению \(y \neq 0\).

\( y_1 = 13 \neq 0 \). Подходит.

\( y_2 = -3 \neq 0 \). Подходит.

Ответ: y = 13, y = -3.