6) \(\frac{x^2-3x}{x+6} = 6;\)

Задание 6

Решаем уравнение \(\frac{x^2-3x}{x+6} = 6\).

Шаг 1: Умножим обе части уравнения на знаменатель \(x+6\), чтобы избавиться от дроби. При этом наложим ограничение: \(x+6 \neq 0\), то есть \( x \neq -6 \).

\[ x^2 - 3x = 6(x+6) \]

Шаг 2: Раскроем скобки в правой части уравнения:

\[ x^2 - 3x = 6x + 36 \]

Шаг 3: Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 3x - 6x - 36 = 0 \]\[ x^2 - 9x - 36 = 0 \]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).

Здесь \( a = 1 \), \( b = -9 \), \( c = -36 \).

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 \]

Шаг 5: Находим корни квадратного уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

\[ x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]\[ x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Шаг 6: Проверяем, удовлетворяют ли найденные корни ограничению \(x \neq -6\).

\( x_1 = 12 \neq -6 \). Подходит.

\( x_2 = -3 \neq -6 \). Подходит.

Ответ: x = 12, x = -3.