4) \(\frac{x^2+4x}{x+7} = \frac{5x+56}{x+7};\)

Задание 4

Решаем уравнение \(\frac{x^2+4x}{x+7} = \frac{5x+56}{x+7}\).

Шаг 1: Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[ \frac{x^2+4x}{x+7} - \frac{5x+56}{x+7} = 0 \]

Шаг 2: Вычтем числители:

\[ \frac{x^2 + 4x - (5x+56)}{x+7} = 0 \]

Шаг 3: Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{x^2 + 4x - 5x - 56}{x+7} = 0 \]\[ \frac{x^2 - x - 56}{x+7} = 0 \]

Шаг 4: Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен равняться нулю, а знаменатель — не равняться нулю.

Приравниваем числитель к нулю:

\[ x^2 - x - 56 = 0 \]

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).

Здесь \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -56 \).

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 \]

Шаг 6: Находим корни квадратного уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

\[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]\[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]

Шаг 7: Проверяем условие, что знаменатель \(x+7 \neq 0\).

Для \( x_1 = 8 \): \( 8 + 7 = 15 \neq 0 \). Это значение подходит.

Для \( x_2 = -7 \): \( -7 + 7 = 0 \). Это значение не подходит.

Ответ: x = 8.