5) \(\frac{x^2+12x}{x+4} - \frac{5x-12}{x+4} = 0;\)

Задание 5

Решаем уравнение \(\frac{x^2+12x}{x+4} - \frac{5x-12}{x+4} = 0\).

Шаг 1: Так как знаменатели одинаковые, вычитаем числители:

\[ \frac{x^2 + 12x - (5x - 12)}{x+4} = 0 \]

Шаг 2: Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{x^2 + 12x - 5x + 12}{x+4} = 0 \]\[ \frac{x^2 + 7x + 12}{x+4} = 0 \]

Шаг 3: Чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен равняться нулю, а знаменатель — не равняться нулю.

Приравниваем числитель к нулю:

\[ x^2 + 7x + 12 = 0 \]

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).

Здесь \( a = 1 \), \( b = 7 \), \( c = 12 \).

\[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \]

Шаг 5: Находим корни квадратного уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

\[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]\[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Шаг 6: Проверяем условие, что знаменатель \(x+4 \neq 0\).

Для \( x_1 = -3 \): \( -3 + 4 = 1 \neq 0 \). Это значение подходит.

Для \( x_2 = -4 \): \( -4 + 4 = 0 \). Это значение не подходит.

Ответ: x = -3.