3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, а один из катетов на 3 см меньше другого. Найдите катеты треугольника.

Пусть один катет равен $$a$$, тогда другой катет равен $$a - 3$$. Гипотенуза равна 15 см. По теореме Пифагора: $$a^2 + (a-3)^2 = 15^2$$ $$a^2 + a^2 - 6a + 9 = 225$$ $$2a^2 - 6a - 216 = 0$$ $$a^2 - 3a - 108 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-3)^2 - 4(1)(-108) = 9 + 432 = 441$$. Корни: $$a_1 = \frac{3 + \sqrt{441}}{2} = \frac{3+21}{2} = 12$$ и $$a_2 = \frac{3 - \sqrt{441}}{2} = \frac{3-21}{2} = -9$$. Так как длина катета не может быть отрицательной, то $$a = 12$$. Тогда другой катет равен $$a - 3 = 12 - 3 = 9$$. Ответ: Катеты треугольника равны 9 см и 12 см. **Развёрнутый ответ для школьника:** Сначала мы обозначили один катет как $$a$$, а другой, который на 3 см меньше, как $$a - 3$$. Затем мы использовали теорему Пифагора, которая связывает длины катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Подставив значения, мы получили квадратное уравнение. Решив его, мы нашли два возможных значения для $$a$$, но одно из них было отрицательным, что не имеет смысла для длины. Таким образом, мы выбрали положительное значение и нашли длину другого катета. В итоге, катеты треугольника равны 9 см и 12 см.