4. С помощью графиков, показанных на рисунке 3.22, а учебника, выясните, сколько корней имеет уравнение $$x^3 = \frac{1}{x}$$. Запишите его корни.

Перепишем уравнение в виде $$x^4 = 1$$. Тогда $$x = \pm 1$$. Из рисунка 3.22 учебника можно увидеть, что графики функций $$y = x^3$$ и $$y = \frac{1}{x}$$ пересекаются в двух точках. Эти точки соответствуют решениям уравнения $$x^3 = \frac{1}{x}$$. Чтобы найти корни, решим уравнение: $$x^3 = \frac{1}{x}$$ $$x^4 = 1$$ $$x^4 - 1 = 0$$ $$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$$ $$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$$ Отсюда получаем действительные корни $$x = 1$$ и $$x = -1$$. $$x^2+1 = 0$$ не имеет вещественных решений. Ответ: Уравнение имеет два корня: $$x = 1$$ и $$x = -1$$. **Развёрнутый ответ для школьника:** Для решения этого задания нам нужно было представить, как выглядят графики функций $$y = x^3$$ и $$y = \frac{1}{x}$$. Графики пересекаются в точках, где значения $$x^3$$ и $$\frac{1}{x}$$ равны. Чтобы точно найти эти значения, мы решили уравнение $$x^3 = \frac{1}{x}$$. Переписав уравнение и разложив его на множители, мы нашли два действительных корня: $$x = 1$$ и $$x = -1$$. Это значит, что графики пересекаются в двух точках, соответствующих этим значениям $$x$$.