5. Решите систему уравнений $$\begin{cases} x - y = -2 \ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}. \end{cases}$$

Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x - y = -2 \ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}. \end{cases}$$ Выразим $$x$$ из первого уравнения: $$x = y - 2$$. Подставим это во второе уравнение: $$\frac{1}{y-2} - \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$$ $$\frac{y - (y-2)}{y(y-2)} = \frac{1}{12}$$ $$\frac{2}{y^2 - 2y} = \frac{1}{12}$$ $$y^2 - 2y = 24$$ $$y^2 - 2y - 24 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-2)^2 - 4(1)(-24) = 4 + 96 = 100$$. Корни: $$y_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2+10}{2} = 6$$ и $$y_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2-10}{2} = -4$$. Найдем соответствующие значения $$x$$: Если $$y_1 = 6$$, то $$x_1 = y_1 - 2 = 6 - 2 = 4$$. Если $$y_2 = -4$$, то $$x_2 = y_2 - 2 = -4 - 2 = -6$$. Ответ: $$(4, 6)$$ и $$(-6, -4)$$. **Развёрнутый ответ для школьника:** Чтобы решить эту систему уравнений, мы сначала выразили $$x$$ через $$y$$ в первом уравнении. Затем мы подставили это выражение во второе уравнение, чтобы получить уравнение только с одной переменной ($$y$$). Решив это квадратное уравнение, мы нашли два возможных значения для $$y$$. После этого мы подставили каждое значение $$y$$ обратно в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения $$x$$. Таким образом, мы получили два решения для системы уравнений: $$(4, 6)$$ и $$(-6, -4)$$. Это означает, что обе пары чисел удовлетворяют обоим уравнениям в системе.